✅Reflexive Relation in Hindi - Definition, Examples in Hindi

 Reflexive Relation in Hindi

गणित में, एक सेट एक्स में एक बाइनरी रिलेशन आर रिफ्लेक्टिव है यदि सेट एक्स का प्रत्येक तत्व संबंधित या स्वयं से जुड़ा हुआ है। संबंधों के संदर्भ में, इसे (ए, ए) ∈ आर ∀ ए ∈ एक्स या आई ⊆ आर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां मैं ए पर पहचान संबंध है। इस प्रकार, इसमें एक रिफ्लेक्सिव संपत्ति है और इसे रिफ्लेक्सिविटी रखने के लिए कहा जाता है। समरूपता, पारगमनशीलता और रिफ्लेक्सिविटी तीन गुण हैं जो तुल्यता संबंधों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उदाहरण के लिए, जब प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है, तो वास्तविक संख्याओं के सेट पर संबंध "बराबर है" का उपयोग किया जाता है। कहा जाता है कि एक रिफ्लेक्सिव संबंध में रिफ्लेक्सिव गुण होता है या इसका मतलब रिफ्लेक्सिविटी होता है।

{tocify} $title={Table of Contents}

Reflexive Relation Definition in Hindi

संबंध और कार्यों में, एक प्रतिवर्त संबंध वह होता है जिसमें प्रत्येक तत्व स्वयं को मैप करता है। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय A = {1, 2,} पर विचार करें। अब, प्रतिवर्ती संबंध R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)} होगा। इसलिए, एक संबंध रिफ्लेक्टिव होता है यदि:

(ए, ए) ∈ आर ∀ ए ∈ ए

जहाँ a तत्व है, A समुच्चय है और R संबंध है।

प्रतिवर्ती संबंधों के उदाहरण तालिका में दिए गए हैं। इन संबंधों से युक्त बयान रिफ्लेक्सिविटी दिखाते हैं।

Reflexive Relation Characteristics in Hindi

एंटी-रिफ्लेक्सिव: यदि किसी सेट के तत्व खुद से संबंधित नहीं हैं, तो यह इरफ़्लेक्सिव या एंटी-रिफ्लेक्सिव है।

अर्ध-रिफ्लेक्सिव: यदि प्रत्येक तत्व जो किसी तत्व से संबंधित है, वह भी स्वयं से संबंधित है, जैसे कि एक सेट ए पर संबंध औपचारिक रूप से कहा गया है: ∀ ए, बी ∈ ए: ए ~ बी ⇒ (ए ~ ए ∧ बी ~ बी )

सह-रिफ्लेक्सिव: एक संबंध ~ (समान) सभी के लिए सह-रिफ्लेक्सिव है और सेट ए में वाई मानता है कि यदि ए ~ बी तो ए = बी। सह-रिफ्लेक्सिव और सकर्मक संबंध का संयोजन हमेशा सकर्मक होता है।

एक गैर-रिक्त सेट ए पर एक रिफ्लेक्सिव संबंध न तो अपरिवर्तनीय, न ही असममित, और न ही संक्रमण-विरोधी हो सकता है।

Reflexive Relation Formula in Hindi

तत्वों की संख्या 'n' वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या किसके द्वारा दी गई है;

एन = 2एन (एन -1)

मान लीजिए, एक संबंध ने जोड़े (ए, बी) का आदेश दिया है। यहां तत्व 'ए' को 'एन' तरीकों से चुना जा सकता है और वही तत्व 'बी' के लिए चुना जा सकता है। अत: क्रमित युग्मों के समुच्चय में n2 जोड़े होते हैं।

प्रतिवर्ती संबंध की परिभाषा के अनुसार, (ए, ए) को इन क्रमित युग्मों में शामिल किया जाना चाहिए। साथ ही, (a, a) के कुल n जोड़े होंगे। इसलिए, यहाँ कई क्रमित जोड़े n2-n जोड़े होंगे। इसलिए, यहाँ प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या 2n(n-1) है।

Reflexive Relation Examples in Hindi

Q.1: एक संबंध R सेट A पर है (सभी पूर्णांकों का सेट) "x R y द्वारा परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि 2x + 3y 5 से विभाज्य है", सभी x, y A के लिए जाँच करें कि क्या R एक है ए पर रिफ्लेक्टिव रिलेशन

हल: आइए x ∈ A पर विचार करें।

अब 2x + 3x = 5x, जो 5 से विभाज्य है।

इसलिए, AR में सभी 'x' के लिए xRx धारण करता है

अत: R प्रतिवर्ती है।

Q.2: एक संबंध R को सभी वास्तविक संख्याओं N के सेट पर 'a R b' द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि और केवल यदि |a-b| b, a, b ∈ N के लिए दिखाइए कि R स्वतुल्य संबंध नहीं है।

हल: यदि a = -2 R . हो तो संबंध स्वतुल्य नहीं है

लेकिन |ए - ए| = 0 जो -2(= a) से कम नहीं है।

इसलिए, संबंध R स्वतुल्य नहीं है।

Q.3: सेट A पर "x R y यदि x - y 5 से विभाज्य है" से एक संबंध R, x, y A के लिए जाँच करें कि क्या R सेट A पर एक रिफ्लेक्टिव संबंध है।

हल: आइए, x A पर विचार करें।

तब x - x 5 से विभाज्य है।

चूँकि x R x, A . में सभी x के लिए धारण करता है

इसलिए, R प्रतिवर्ती है।

Q.4: समुच्चय A पर विचार करें जिसमें एक संबंध R को 'x R y' द्वारा परिभाषित किया जाता है, यदि और केवल यदि x + 3y, 4 से विभाज्य है, x, y A के लिए। दर्शाइए कि R, समुच्चय A पर एक प्रतिवर्ती संबंध है।

हल: आइए x ∈ A पर विचार करें।

अत: x + 3x = 4x, 4 से विभाज्य है।

चूँकि x R x, A में सभी x के लिए धारण करता है।

इसलिए, R प्रतिवर्ती है।